De theoretische grondslagen van Amplitude Modulatie en toepassing in de praktijk

Inleiding

Bij Amplitude Modulatie wordt de amplitude van de draaggolf gevarieerd door het modulerende signaal, waarvan de frequentie altijd lager is dan die van de draaggolf. In de (omroep)praktijk is de draaggolf een hoogfrequent signaal en de modulatie een audiosignaal. Formeel kan AM worden gedefinieerd als een modulatiesysteem waarbij de amplitude van de draaggolf gelijktijdig met de omhullende* amplitude van het audiosignaal verandert. Drie begrippen:

• omhullende: is de vorm van het audiosignaal getekend over de toppen van de afzonderlijke h.f. trillingen.
• Instantaneous value: de momentane (momentele) waarde, de waarde op een bepaald gekozen moment of plek in een golfvorm.
• r.m.s. value = effectieve waarde. De waarde van de gelijkspanning in Volt welke in een weerstand dezelfde hoeveelheid warmte opwekt als een wisselspanning.

Uitgaande van sinusvormige signalen kunnen de draaggolf Vc  en de modulatie Vm wiskundig respectievelijk worden voorgesteld als:

De fasehoek van het signaal is in beide formules verwaarloosd omdat deze bij het modulatieproces onveranderd blijven en de uitleg nodeloos ingewikkeld maken zonder de uitkomst te beïnvloeden. Deze fasehoek kan bij frequentie- en fasemodulatie uiteraard niet buiten beschouwing blijven.

Er moet een bepaalde verhouding zijn tussen de maximale amplitude Vc    van de draaggolf en die van het modulerende signaal Vm sin ωmt . Voor een optimaal rendement moeten deze twee aan elkaar gelijk zijn.

Frequentie spectrum en vorm van de Amplitude Gemoduleerde golf:

Wiskundig kan worden aangetoond dat de frequenties die aanwezig zijn in een amplitude gemoduleerde golf bestaan uit de frequentie van de draaggolf en het eerste paar zijband frequenties, waarbij de frequentie van een zijband fsb is gedefinieerd als:

Waarbij wordt aangenomen dat n = 1, d.w.z., vrij vertaald, dat de golfvorm van het signaal exact de omhullende van het modulerende signaal volgt.

Als er modulatie plaatsvindt wordt de amplitude van de draaggolf dus gevarieerd in de vorm van de omhullende van het modulerende signaal.

Dit is geïllustreerd in figuur 3-1, die laat zien dat de (maximum) amplitude van het amplitude gemoduleerde signaal Vc varieert in exacte overeenstemming met de golfvorm van het modulerende signaal Vm

Figuur 3-1 laat ook zien wat zou gebeuren als Vm groter is dan Vc: dan treedt vervorming op. De verhouding tussen Vm en Vc leidt tot de definitie van de modulatie index, gegeven in de vergelijking (3-4)

De modulatie index “m” is een getal tussen 0 en 1 en wordt vaak uitgedrukt als een percentage tussen 0% (geen modulatie) en 100% (maximum modulatie).

Uitgaande van figuur 3-1 en vergelijking (3-4) is het mogelijk een wiskundige vergelijking op te stellen voor de amplitude “A” van het amplitude gemoduleerde signaal:

De momentane grootte van de spanning “V” van de resulterende amplitude gemoduleerde golf is:

De vergelijking (3-6) kan worden uitgebreid met behulp van de trigonometrische relatie sin x sin y = 1/2 [cos (x – y) – cos (x + y)], en heeft als resultaat:

Hiermee is wiskundig aangetoond dat de uitkomst van de vergelijking van een amplitude gemoduleerde golf drie termen bevat:

De eerste term is gelijk aan vergelijking (3-1) en stelt de ongemoduleerde draaggolf voor.

Het is duidelijk dat de theoretische benadering van het proces van Amplitude Modulatie te zien geeft dat er niets wordt toegevoegd aan de ongemoduleerde draaggolf en dat deze zelf onveranderd blijft. In het proces worden extra componenten toegevoegd aan het geheel. 

De tweede en derde termen van de vergelijking stellen namelijk de beide zijbanden voor die bij modulatie optreden. De frequentie van de lage zijband (LSB) is fc – fm, en de frequentie van de hoge zijband (USB) is fc + fm. De belangrijkste conclusie die hieruit op dit moment kan worden getrokken is dat de benodigde bandbreedte voor een amplitude gemoduleerd signaal tweemaal de frequentie van het modulerende signaal is. Voor omroep doeleinden betekent dit dat de benodigde bandbreedte tweemaal de waarde van de hoogste modulatiefrequentie is (b.v. 9 kHz bij 4,5 kHz als hoogste audiofrequentie)

Visuele voorstelling van Amplitude gemoduleerde signalen:

Amplitude modulatie kan, afhankelijk vanuit welk perspectief het beschouwd wordt, op twee manieren worden weergegeven. .Figuur 3-2 laat het frequentiespectrum zien en illustreert daarmee vergelijking (3-7).

AM kan eenvoudig worden voorgesteld als opgebouwd uit drie los van elkaar bestaande frequenties. De centrale frequentie, de draaggolf, heeft de grootste amplitude en de beide andere liggen symmetrisch daarnaast en hebben een amplitude die gelijk aan elkaar zijn, maar die elk nooit groter dan de helft van die van de draaggolf kunnen zijn.

De vorm van het amplitude gemoduleerde signaal is erg belangrijk en is in figuur 3-3 weergegeven voor één cyclus van de (sinusvormige) modulerende golf.

Ze is ontleend aan figuur 3-1, die laat zien wat de maximale amplitude van de gemoduleerde draaggolf is, weergegeven door de relatie: A = Vc + Vm sin ωmt, en de minimale amplitude weergegeven door de relatie: -A = -(Vc + Vm sin ωmt).

Kortom, de vorm van de gemoduleerde draaggolf volgt de maxima en minima van de modulerende frequenties. Deze wordt de “omhullende” genoemd, wat op een oscilloscoop goed zichtbaar is. Bij overmodulatie (Vm groter dan Vc) zijn onderbrekingen aan de negatieve kant van de golfvorm te zien. Er treedt dan vervorming van het signaal/geluid op.

Omdat Vm = mVc (formule 3-4) kunnen we nu deze relatie gebruiken om de modulatie index van de golfvorm uit figuur 3-3 als volgt te berekenen

Delen we (3-8) door (3-9) is het resultaat:

Vergelijking (3-10) is de standaard methode om de modulatie index te berekenen aan de hand van een golfvorm zoals deze b.v. op een oscilloscoop te zien is als zowel de draaggolf- als de modulatiespanning bekend is. In andere situaties kan deze niet altijd zonder meer gebruikt worden.

Als het de bedoeling is de momentane waarde hiervan te weten, kan ook het fasediagram van de drie afzonderlijke componenten van het amplitude gemoduleerde signaal worden getekend.

Als alleen de gemiddelde waarde (r.m.s. waarde) van de spanningen bekend is, of als het gemoduleerde en ongemoduleerde uitgangsvermogen is gegeven, is het noodzakelijk om de diverse vermogensrelaties in de amplitude gemoduleerde golf te begrijpen en te gebruiken.

Vermogens relaties binnen de Amplitude gemoduleerde golf.

Er is aangetoond dat de draaggolf component van de gemoduleerde golf dezelfde amplitude heeft als de ongemoduleerde draaggolf. Hieraan is dus geen energie toegevoegd of onttrokken. De gemoduleerde golf bevat extra energie in de beide zijbanden. Daarom bevat de gemoduleerde golf meer vermogen dan de alleen de draaggolf zonder modulatie.

Daar de amplitude van de zijbanden afhankelijk is van de modulatie index, mag verwacht worden dat het totale vermogen van de gemoduleerde golf eveneens van de modulatie index Vm/Vc afhankelijk is. Deze relatie kan nu worden afgeleid.

Het totale vermogen in de gemoduleerde golf zal zijn:

Waarbij alle drie de spanningswaarden effectieve waarden zijn (piekwaarde gedeeld door √2) en R de weerstand waarin het vermogen wordt gedissipeerd ( b.v. een dummyload)

De eerste term van vergelijking (3-11) is het ongemoduleerde draaggolf vermogen Pc en wordt voorgesteld door:

Op gelijke wijze de voorstelling voor de zijbanden Plsb en Pusb,

Opnemen van de vergelijkingen (3-12) en (3-13) in (3-11)geeft als resultaat:

Vergelijking (3-14) legt een relatie tussen het totale vermogen Pt van de gemoduleerde golf en het vermogen van de ongemoduleerde golf. Dit is de formule die moet gebruikt om de modulatie index te berekenen in situaties waarin formule (3-10) niet voorziet.

De toepassing hiervan zal worden uitgelegd in de volgende rekenvoorbeelden. Met behulp van deze formule kunnen overigens ook andere problemen opgelost worden.

Het is nuttig hier op te merken dat volgens formule (3-14) het maximale vermogen Pt van de Amplitude gemoduleerde golf gelijk is aan 1,5 x dat van de ongemoduleerde draaggolf. bij een modulatie index m van 1, ofwel:

. Pt =1.5Pc. bij 100% modulatie

Dit is belangrijk, want dit is het maximale vermogen dat de zender al dan niet samen met de modulator moet kunnen leveren.

Berekeningen van de optredende stromen:

Een veelvoorkomende situatie in het AM bedrijf is dat de gemoduleerde en ongemoduleerde stromen weliswaar vrij eenvoudig te meten zijn, maar dat het daarna nodig is de modulatie index er van te berekenen. Dit is het geval als de antennestroom gemeten wordt en het vraagstuk is als volgt op te lossen.

Stel dat Ic de ongemoduleerde stroom is en It de totale of gemoduleerde stroom van een AM zender, in beide gevallen effectieve (r.m.s.) waarden.   Als we de weerstand waardoor deze stromen vloeien R noemen, dan geldt:

Hieruit is de modulatie index af te leiden

Modulatie door meerdere sinusvormige signalen

In de praktijk wordt een Amplitude gemoduleerde draaggolf altijd door een veelvoud aan signalen gemoduleerd. Daarom moet een methode worden gevonden om de resulterende vermogensverhoudingen te kunnen berekenen.

Deze procedure bestaat uit het berekenen van de totale modulatie index en de uitkomst in vergelijking (3-14) te substitueren, waarmee het totale vermogen kan worden berekend zoals eerder gedaan. Er bestaan twee methoden om de totale modulatie index te berekenen.

1. Stel dat V1,V2,V3, etc., de gelijktijdige optredende modulerende spanningen zijn. De totale modulerende spanning is dan gelijk aan de vierkantswortel uit de som van de afzonderlijke spanningen, dat is:

Deel beide vergelijkingen door Vc, dat geeft:

2. Vergelijking (3-14) kan worden herschreven om te benadrukken dat het totale vermogen in een AM golf bestaat uit draaggolf vermogen en zijband vermogen. Dit leidt tot:

Waarin PSB het gezamenlijke zijbandvermogen is en wordt voorgesteld door:

Bij gelijktijdige modulatie van de draaggolf met meerdere sinusvormige golven, blijft het vermogen van de draaggolf ongewijzigd, maar het totale zijbandvermogen is nu de som van de afzonderlijke zijbandvermogens.

Dit geeft:

Substitutie geeft als uitkomst:

Nadat aan beide zijden van de vergelijking de wortel wordt getrokken is vergelijking (3-17) opnieuw de uitkomst..

In beide gevallen is het resultaat dat de totale modulatie index kan worden berekend door de vierkantswortel uit het kwadraat van de som van de afzonderlijke modulatie indexen te trekken. 

Let er op dat de totale modulatie index nooit groter dan 1 mag zijn, omdat dan overmodulatie plaats vindt. Of het nu om één of meerdere sinusvormige signalen gaat, de output van de zender zal in de negatieve modulatie pieken 0 worden bij overmodulatie, wat zich uit als vervorming.

AM in de praktijk

Een paar praktische gevolgtrekkingen en een praktijkvoorbeeld (LPAM)

Je kunt een AM signaal op twee manieren wiskundig benaderen en visueel bekijken: als frequentiespectrum (figuur 3-2) en als samengesteld signaal (figuur 3-3 )

Volgens figuur 3-2: 

We bekijken de signalen op een spectrum analyzer. De wiskundige formules ondersteunen dit beeld: Een AM signaal bestaat uit een draaggolf en twee identieke zijbanden. Bij het modulatieproces blijft de draaggolf onveranderd.

De signaalgrootte van elk van de zijbanden is maximaal de helft van die van de draaggolf.

Het vermogen in elk van de zijbanden is 1/4 van dat van het draaggolf vermogen.

Alleen de zijbanden bevatten informatie: beide zijbanden bevatten dezelfde informatie.

Voorbeeld: Het vermogen van de draaggolf is 100 Watt. De aanname is dat dit het effectieve vermogen is, gemeten in b.v. een dummyload..Bij 100 % modulatie is het informatie dragende vermogen dan 25 Watt. Het totale (effectieve) vermogen van de zender is dan 150 Watt. Afhankelijk van de modulatie methode wordt hiervan een deel - maximaal 50 Watt - door de modulator geleverd.

Volgens figuur 3-3

We bekijken het signaal op een oscilloscoop. We nemen ter vergelijking aan dat het effectieve vermogen van de draaggolf nog steeds100 Watt is. Het piekvermogen hiervan (PEP) is dan 400 Watt.  Omdat we het signaal op de oscilloscoop bekijken als samengesteld signaal, (figuur 3-3) zien we dat bij 100 % modulatie de maximale waarde van Vc + Vm  2 maal zo groot is als die van Vc alleen. Dat betekent echter niet dat het piekvermogen in dat geval 4 maal zo groot is als dat van de ongemoduleerde draaggolf zo als je dat op het eerste gezicht zou verwachten.

Het totale (piek)vermogen van het gemoduleerde signaal is niet 2 maar 1,5 maal zo veel, weten we uit de berekeningen, dus moet 600 Watt zijn. De draaggolf is goed voor 400 Watt, in de beide zijbanden zit dan elk 100 Watt piekvermogen.

Het beeld op de oscilloscoop is op dit punt dan ook misleidend. De tweemaal zo hoge waarde spanningswaarde van Vc + Vm samen zou 4 maal zo veel vermogen betekenen maar dat is niet zo: Vm is namelijk verdeeld over twee zijbanden, dat is per zijband een 1/2 Vm wat omgerekend 1/4 vermogen is, samen dus 400 + 100 + 100 = 600 Watt. Het oscilloscoop beeld laat één samengestelde golfvorm zien, in werkelijkheid is het vermogen verdeeld over meerdere frequenties, de draaggolf en twee zijbanden. Vraag is, klopt deze redenering en waarom is het scoopbeeld misleidend?. Iets met een fasediagram tekenen als oplossing?

Zou je de Vc van de ongemoduleerde draaggolf 2 maal zo groot maken, dan wordt het piekvermogen wél 4 x zo groot: 800 Watt. En dat is omdat nu alle energie geconcentreerd in één frequentie.

PEP (Peak Envelope Power).

Zo als uit het bovenstaande blijkt zijn er nog al wat interpretaties mogelijk van het door de zender aan de antenne geleverde vermogen.

De uitdrukking “een zender van 50 kiloWatt” zegt niet zo veel, tenzij de methode volgens welke dat vermogen wordt berekend of gemeten er bij vermeld wordt.

Een van die methodes is die welke gehanteerd wordt door de Amerikaanse FCC (Federal Communications Commission) en dat is de meting van het PEP vermogen. Zie de uitleg hierna, ontleend aan Wikipedia

Meting PEP.  Bron: wikipedia

Zie de afbeelding hierboven dat het PEP vermogen voorstelt aan de hand van een 100% gemoduleerd AM signaal. Het PEP vermogen is het vermogen dat getoond wordt in het gebied van de rode sinusvormen.

De PEP (Piek Envelope Power) wordt door de FCC gedefinieerd als:

 “het gemiddelde vermogen gemeten over één enkele cyclus van het hoogfrequente signaal over de hoogste toppen van het gemoduleerde signaal.”

Praktisch gezien, de onderbroken of continu herhaalde toppen van de omhullende van het gemoduleerde signaal onder normale bedrijfscondities.

De FCC hanteert in de VS deze methode voor het vaststellen van maximale vermogens standaarden voor radiozenders. Maar ook de RDI (misschien beter bekend als Agentschap Telecom) hanteert deze standaard voor LPAM vergunningen.

PEP in de praktijk voor AM. 

Merk op, dat bij een draaggolf vermogen van 100 Watt PEP, het effectieve vermogen van de draaggolf 25 Watt bedraagt.

Bij 0% modulatie is er dus een constante draaggolf met een vermogen van 10 Watt PEP. Bij 100 % modulatie moet, om binnen de grens van 100 Watt PEP te blijven, de draaggolf met een factor 4 worden verminderd. Dit komt neer op een draaggolf van 25 Watt PEP. Bij modulatie percentages tussen 0 en 100% moet de draaggolf evenredig worden teruggebracht. Zie bijgaande tabel 1 afkomstig uit “Uitvoeringskader Laag vermogen Middengolf”. 

Bij 100% modulatie is de draaggolf 25 Watt PEP, Dat is iets meer dan 6 Watt effectief. De beide zijbanden hebben dan een vermogen van ongeveer 1,5 Watt effectief. Voorwaar, zo krijgt het begrip LPAM wel inhoud…

Wat echter blijft hangen is: “je mag met 100 Watt uitzenden”. De oppervlakkige lezer zet zijn zender aan, stelt hem in op 100 Watt (effectief, dus 400 Watt PEP,) sluit daarna de modulatie aan (100%) en is dan meteen met een factor 16 in overtreding. En zelfs dat blijkt in de praktijk met het huidige storingsniveau nog te laag te zijn voor een behoorlijk bereik.

Tabel 1: Bron: Uitvoeringskader laag vermogen middengolf

Geraadpleegde Bronnen:

• • EEEguide.com
  • RDI.(Agentschap telecom) : Uitvoerings Besluit Laag vermogen Middengolfbeleid,
  • Wikipedia
  • Diverse (oudere) leerboeken en Amateur bladen

A. Van Bronkhorst/ 2025/ t.b.v. Techniek van Toen.nl